3 conseils d'experts pour utiliser le cercle d'unité

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Si vous étudiez le trig ou le calcul, ou si vous vous préparez à le faire, vous devrez vous familiariser avec le cercle unité. Le cercle unité est un outil essentiel utilisé pour résoudre le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle. Mais comment ça marche? Et quelles informations devez-vous connaître pour l'utiliser?

Dans cet article, nous expliquons ce qu'est le cercle unité et pourquoi vous devriez le connaître. Nous vous donnons également trois conseils pour vous aider à vous rappeler comment utiliser le cercle unité.



Image caractéristique : Gustavb /Wikimédia

Le cercle d'unité : une introduction de base

Le cercle unité est un cercle de rayon 1. Cela signifie que pour toute ligne droite tracée du centre du cercle à n'importe quel point le long du bord du cercle, la longueur de cette ligne sera toujours égale à 1. (Cela signifie également que le diamètre du cercle sera égal à 2, puisque le diamètre est égal à deux fois la longueur du rayon.)

Typiquement, le point central du cercle unité est l'endroit où l'axe des x et l'axe des y se croisent, ou aux coordonnées (0, 0) :

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Le cercle unité, ou cercle trigonométrique comme on l'appelle aussi, est utile à connaître car il nous permet de calculer facilement le cosinus, le sinus et la tangente de tout angle compris entre 0° et 360° (ou 0 et 2π radians).

date de notification de décision anticipée cornell

Comme vous pouvez le voir dans le diagramme ci-dessus, en dessinant un rayon à n'importe quel angle (marqué par dans l'image), vous créerez un triangle rectangle. Sur ce triangle, le cosinus est la ligne horizontale et le sinus est la ligne verticale. En d'autres termes, cosinus =la coordonnée x, et sinus = coordonnée y. (La ligne la plus longue du triangle, ou hypoténuse, est le rayon et est donc égale à 1.)

Pourquoi tout cela est-il important ? Rappelez-vous que vous pouvez résoudre les longueurs des côtés d'un triangle en utilisant le Théorème de Pythagore, ou $a^2+b^2=c^2$ (dans lequel à et b sont les longueurs des côtés du triangle, et c est la longueur de l'hypoténuse).

Nous savons que le cosinus d'un angle est égal à la longueur de la ligne horizontale, le sinus est égal à la longueur de la ligne verticale et l'hypoténuse est égale à 1. Par conséquent, nous pouvons dire que la formule pour tout triangle rectangle dans le cercle unité est la suivante :

$$ cos ^ 2θ + sin ^ 2θ = 1 ^ 2 $$

Puisque ^2=1$, nous pouvons simplifier cette équation comme ceci :

$$ cos ^ 2θ + sin ^ 2θ = 1 $$

Soit conscient que ces valeurs peuvent être négatives en fonction de l'angle formé et du quadrant dans lequel se trouvent les coordonnées x et y (j'expliquerai cela plus en détail plus tard).

Voici un aperçu de tous les angles principaux en degrés et en radians sur le cercle unité :

body_unit_circle_degrees

Cercle unitaire — Degrés

body_unit_circle_radians

Unité de cercle — Radians

Mais que se passe-t-il s'il n'y a pas de triangle formé ? Regardons que se passe-t-il lorsque l'angle est de 0°, créant une ligne droite horizontale le long de l'axe des x :

body_unit_circle_cos_1_sin_0

Sur cette ligne, la coordonnée x est égale à 1 et la coordonnée y est égale à 0. Nous savons que le cosinus est égal à la coordonnée x, et le sinus est égal à la coordonnée y, donc on peut écrire ceci :

  • $cos0°=1$
  • $ sin0 ° = 0 $

Et qu'est-ce qui se passerait si l'angle est de 90° et fait une ligne parfaitement verticale le long de l'axe y ?

body_unit_circle_cos_0_sin_1

Ici, nous pouvons voir que la coordonnée x est égale à 0 et la coordonnée y est égale à 1. Cela nous donne les valeurs suivantes pour le sinus et le cosinus :

  • $ cos90 ° = 0 $
  • $sin90°=1$

body_know_your_ennemi Ce slogan s'applique certainement si vous n'êtes pas un amateur de mathématiques.



Pourquoi devriez-vous connaître le cercle d'unité

Comme indiqué ci-dessus, le cercle unitaire est utile car il nous permet de résoudre facilement le sinus, le cosinus ou la tangente de n'importe quel degré ou radian. Il est particulièrement utile de connaître le tableau des cercles unitaires si vous devez résoudre certaines valeurs de trig pour les devoirs de mathématiques ou si vous vous préparez à étudier le calcul.

Mais en quoi la connaissance exacte du cercle unité peut-elle vous aider ? Disons que le problème suivant vous est posé lors d'un test de mathématiques et que vous êtes ne pas autorisé à utiliser une calculatrice pour le résoudre:

$$sin30°$$

Par où commencez-vous ? Jetons à nouveau un coup d'œil au tableau des cercles unitaires, cette fois avec tous les angles principaux (en degrés et en radians) et leurs coordonnées correspondantes :

body_wikimedia_unit_circle_complete_chart Jim.belk /Wikimédia

Ne vous laissez pas submerger ! Rappelez-vous, tout ce que vous résolvez est $sin30°$. En regardant ce graphique, nous pouvons voir que la coordonnée y est égale à /2$ à 30°. Et puisque la coordonnée y est égale au sinus, notre réponse est la suivante :

$$sin30°=1/2$$

Mais que se passe-t-il si vous rencontrez un problème qui utilise des radians au lieu de degrés ? Le processus pour le résoudre est toujours le même. Disons, par exemple, que vous obtenez un problème qui ressemble à ceci :

$$ cos {{3π} / 4} $$

Encore une fois, en utilisant le graphique ci-dessus, nous pouvons voir que la coordonnée x (ou cosinus) pour ${3π}/4$ (qui est égal à 135°) est $-{√2}/2$. Voici à quoi ressemblerait notre réponse à ce problème :

$$ cos ({3π} / 4) = - {√2} / 2 $$

Tout cela est assez facile si vous avez le tableau des cercles d'unités ci-dessus à utiliser comme référence. Mais la plupart (sinon tout) du temps, ce ne sera pas le cas, et vous devrez répondre à ces types de questions mathématiques en utilisant uniquement votre cerveau.

Alors, comment pouvez-vous vous souvenir du cercle unité? Lisez la suite pour nos meilleurs conseils!

Comment se souvenir du cercle d'unité : 3 conseils essentiels

Dans cette section, nous vous donnons nos meilleurs conseils pour mémoriser le cercle de déclenchement afin que vous puissiez l'utiliser facilement pour tout problème mathématique qui le nécessite.

body_remember_note Je ne recommanderais pas de pratiquer le cercle d'unité avec des post-it, mais bon, c'est un début.

#1 : Mémorisez les angles et les coordonnées communs

Afin d'utiliser efficacement le cercle d'unité, vous devrez mémoriser les angles les plus courants (en degrés et en radians) ainsi que leurs coordonnées x et y correspondantes.

Le diagramme ci-dessus est un diagramme circulaire unitaire utile à regarder, car il comprend tous les angles principaux en degrés et en radians, en plus de leurs points de coordonnées correspondants le long des axes x et y.

Voici un tableau répertoriant ces mêmes informations sous forme de tableau :

Angle (Degrés) Angle (Radians) Coordonnées du point sur le cercle
0 ° / 360 ° 0 / 2π (dix)
30° $ π / 6 $ $ ({√3} / 2, 1/2) $
45° $ π / 4 $ $ ({√2} / 2, {√2} / 2) $
60° $ π / 3 $ $ (1/2, {√3} / 2) $
90 ° $ π / 2 $ (0, 1)
120° {2π} $ / 3 $ $ (- 1/2, {√3} / 2) $
135 ° $ {3π} / 4 $ $ (- {√2} / 2, {√2} / 2) $
150° {5π} $ / 6 $ $ (- {√3} / 2, 1/2) $
180° Pi (-dix)
210° {7} $ / 6 $ $ (- {√3} / 2, -1/2) $
225° {5π} $ / 4 $ $ (- {√2} / 2, - {√2} / 2) $
240 ° $ {4π} / 3 $ $ (- 1/2, - {√3} / 2) $
270° $ {3π} / 2 $ (0, -1)
300° {5π} $ / 3 $ $ (1/2, - {√3} / 2) $
315° $ {7π} / 4 $ $ ({√2} / 2, - {√2} / 2) $
330° {11π} $ / 6 $ $ ({√3} / 2, -1/2) $

Maintenant, alors que vous êtes plus que bienvenu pour essayer de mémoriser toutes ces coordonnées et tous ces angles, c'est beaucoup de choses à retenir.

Heureusement, il existe une astuce que vous pouvez utiliser pour vous aider à vous souvenir des parties les plus importantes du cercle de l'unité.

Regardez les coordonnées ci-dessus et vous remarquerez un motif clair : tous les points (à l'exception de ceux à 0°, 90°, 270° et 360°) alterner entre seulement trois valeurs (qu'elles soient positives ou négatives) :

  • 1 $ / 2 $
  • $ {√2} / 2 $
  • $ {√3} / 2 $

Chaque valeur correspond à une ligne courte, moyenne ou longue pour le cosinus et le sinus :

body_unit_circle_cos_lines

body_unit_circle_sin_lines

Voici la signification de ces longueurs :

  • Ligne courte horizontale ou verticale = 1 $ / 2 $
  • Ligne moyenne horizontale ou verticale = $ {√2} / 2 $
  • Longue ligne horizontale ou verticale = $ {√3} / 2 $

Par exemple, si vous essayez de résoudre $cos{π/3}$, vous devez savoir tout de suite que cet angle (qui est égal à 60°) indique une courte ligne horizontale sur le cercle unité. Donc, sa coordonnée x correspondante doit être égale à /2$ (une valeur positive, puisque $π/3$ crée un point dans le premier quadrant du système de coordonnées).

Enfin, bien qu'il soit utile de mémoriser tous les angles dans le tableau ci-dessus, notez que Les angles de loin les plus importants à retenir sont les suivants :

quart de pouce sur une règle
  • 30° / $ π / 6 $
  • 45 ° / $ π / 4 $
  • 60 ° / $ π / 3 $

body_positive_negative_cables Traitez vos négatifs et positifs comme vous le feriez avec des câbles qui peuvent potentiellement vous tuer s'ils sont mal branchés.

#2 : Apprenez ce qui est négatif et ce qui est positif

Il est essentiel de pouvoir distinguer les coordonnées x et y positives et négatives afin de trouver la valeur correcte pour un problème trigonométrique. Pour rappel, dans si une coordonnée sur le cercle unité sera positive ou négative dépend de dans quel quadrant (I, II, III ou IV) le point appartient :

body_unit_circle_quadrants

Voici un graphique indiquant si une coordonnée sera positive ou négative en fonction du quadrant dans lequel se trouve un angle particulier (en degrés ou en radians) :

Quadrant Coordonnée X (Cosinus) Coordonnée Y (Sine)
je + +
yl - +
III - -
IV + -

Par exemple, supposons que l'on vous pose le problème suivant lors d'un test de mathématiques :

$$cos210°$$

Avant même d'essayer de le résoudre, vous devriez être capable de reconnaître que la réponse sera un nombre négatif puisque l'angle 210° tombe dans le quadrant III (où les coordonnées x sont toujours négatif).

Maintenant, en utilisant l'astuce que nous avons apprise dans l'astuce 1, vous pouvez comprendre qu'un angle de 210° crée une longue ligne horizontale. Par conséquent, notre réponse est la suivante :

$$cos210°=-{√3}/2$$

# 3: Savoir comment résoudre la tangente

Enfin, il est essentiel de savoir utiliser toutes ces informations sur le cercle trigonométrique et les sinus et cosinus afin de pouvoir résoudre la tangente d'un angle.

En trig, pour trouver la tangente d'un angle (en degrés ou en radians), il suffit de diviser le sinus par le cosinus :

$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$

Par exemple, supposons que vous essayez de répondre à ce problème :

$$ an300°$$

La première étape consiste à établir une équation en termes de sinus et de cosinus :

$$ an300°={sin300°}/{cos300°}$$

Maintenant, pour résoudre la tangente, nous devons trouver le sinus et cosinus de 300°. Vous devriez être capable de reconnaître rapidement que l'angle 300° tombe dans le quatrième quadrant, ce qui signifie que le cosinus, ou coordonnée x, sera positif, et le sinus, ou coordonnée y, sera négatif.

Vous devez également savoir tout de suite que l'angle 300° crée une courte ligne horizontale et une longue ligne verticale. Par conséquent, le cosinus (la ligne horizontale) sera égal à /2$, et le sinus (la ligne verticale) sera égal à $-{√3}/2$ (une valeur y négative, puisque ce point est dans le quadrant IV) .

Maintenant, pour trouver la tangente, il vous suffit de brancher et de résoudre :

$$ an300°={-{√3}/2}/{1/2}$$

$$ an300°=-√3$$

body_cat_practicing_golf Il est temps de ronronner et de mettre en pratique vos compétences en mathématiques !

Ensemble de questions de pratique du cercle d'unité

Maintenant que vous savez à quoi ressemble le cercle d'unité et comment l'utiliser, testons ce que vous avez appris avec quelques problèmes pratiques.

Des questions

  1. $sin45°$
  2. $cos240°$
  3. $ cos {5π} / 3 $
  4. $ tan {2π} / 3 $

Réponses

  1. $ {√2} / 2 $
  2. -1 $ / 2 $
  3. 1 $ / 2 $
  4. $ -√3 $

Explications de réponse

#1 : $sin45°$

Avec ce problème, il y a deux informations que vous devriez pouvoir identifier tout de suite :

  • La réponse sera positive, puisque l'angle 45° est dans le quadrant I, et le sinus d'un angle est égal à la coordonnée y
  • L'angle de 45° crée une ligne verticale de longueur moyenne (pour leur)

Puisque 45° indique une ligne positive de longueur moyenne, La bonne réponse est $ {√2} / 2 $.

Si vous ne savez pas comment le comprendre, dessinez un diagramme pour vous aider à déterminer si la longueur de la ligne sera courte, moyenne ou longue.

le creuset acte 1 personnages

#2 : $cos240°$

Comme le problème n°1 ci-dessus, il y a deux informations que vous devriez pouvoir saisir rapidement avec ce problème :

  • La réponse sera négative, puisque l'angle 240° est dans le quadrant III, et le cosinus d'un angle est égal à l'abscisse
  • L'angle 240° crée une courte ligne horizontale (pour cosinus)

Puisque 240° indique une ligne négative et courte, La bonne réponse est -1 $ / 2 $.

# 3: $ cos {5π} / 3 $

Contrairement aux problèmes ci-dessus, ce problème utilise radians au lieu de diplômes. Bien que cela puisse rendre le problème plus difficile à résoudre, en réalité, il utilise les mêmes étapes de base que les deux autres problèmes.

Tout d'abord, vous devez reconnaître que l'angle ${5π}/3$ est dans le quadrant IV, donc la coordonnée x, ou cosinus, sera un nombre positif. Tu devrais aussi pouvoir le dire$ {5π} / 3 $crée une courte ligne horizontale.

Cela vous donne suffisamment d'informations pour déterminer que les la réponse est $ 1/2 $.

# 4: $ tan {2π} / 3 $

Ce problème traite de la tangente au lieu du sinus ou du cosinus, ce qui signifie que cela nécessitera un peu plus de mathématiques de notre côté. Tout d'abord, rappelez-vous la formule de base pour trouver la tangente :

$$ tan θ = { sin θ} / { cos θ} $$

Maintenant, prenons le diplôme qu'on nous a donné—${2π}/3$-et branchez-le dans cette équation:

$$ tan {2π} / 3 = { sin {2π} / 3} / { cos {2π} / 3} $$

Vous devriez maintenant être capable de résoudre séparément le sinus et le cosinus en utilisant ce que vous avez mémorisé à propos du cercle unité. Puisque l'angle ${2π}/3$ est dans le quadrant II, la coordonnée x (ou cosinus) sera négative et la coordonnée y (ou sinus) sera positive.

Ensuite, vous devriez être en mesure de déterminer en fonction de l'angle seul que la ligne horizontale est une ligne courte, et la ligne verticale est une longue file. Cela signifie que le cosinus est égal à $-1/2$ et le sinus est égal à ${√3}/2$.

Maintenant que nous avons déterminé ces valeurs, il ne nous reste plus qu'à les intégrer à notre équation initiale et à résoudre la tangente :

$$ tan {2π} / 3 = {{√3} / 2} / {- 1/2} $$

$$ tan {2π} / 3 = -√3 $$

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