Coordonner la géométrie sur les mathématiques ACT : stratégies et pratiques

points caractéristiques

La géométrie des coordonnées est au centre de la section mathématique ACT, et vous devrez connaître ses nombreuses facettes afin de répondre à la variété de questions de géométrie de coordonnées que vous verrez sur le test. Heureusement, la géométrie des coordonnées n'est pas difficile à visualiser ou à comprendre une fois que vous connaissez les bases. Et nous sommes là pour vous guider à travers eux.

Il y aura généralement trois questions sur un ACT donné qui impliquent uniquement des points, et deux à trois autres questions qui impliqueront des lignes et des pentes et/ou des rotations, des réflexions ou des translations . Ces sujets sont testés par environ 10 % de vos questions de mathématiques ACT, c'est donc une bonne idée de comprendre les tenants et les aboutissants de la géométrie des coordonnées avant de vous lancer dans le test.



Cet article sera votre guide complet sur les points et les blocs de construction pour la géométrie de coordonnées : Je vais expliquer comment trouver et manipuler des points, des distances et des points médians, et vous donner des stratégies pour résoudre ces types de questions sur l'ACT.

Qu'est-ce que la géométrie de coordonnées?

La géométrie se déroule toujours sur un plan, qui est une surface plane qui s'étend à l'infini dans toutes les directions. Le plan de coordonnées fait référence à un plan qui a des échelles de mesure le long des axes x et y.

La géométrie de coordonnées est la géométrie qui a lieu dans le plan de coordonnées.

Échelles de coordonnées

L'axe des x est l'échelle qui mesure horizontal distance le long du plan de coordonnées.

L'axe des y est l'échelle qui mesure verticale distance le long du plan de coordonnées.

L'intersection des deux plans s'appelle le origine .

body_points_coordinate_plane-1

Nous pouvons trouver n'importe quel point le long de l'étendue infinie du plan en utilisant sa position le long des axes x et y et sa distance par rapport à l'origine. Nous marquons cet emplacement avec des coordonnées, écrites comme (x, y).

La valeur x nous indique à quelle distance (et dans quelle direction) notre point se trouve le long de l'axe x.

La valeur y nous indique à quelle distance (et dans quelle direction) notre point se trouve le long de l'axe y.

Par exemple, regardez le graphique suivant.

body_ACT_coordinates_1

Ce point est à 4 unités à droite de l'origine et 2 unités au-dessus de l'origine. Cela signifie que notre point est situé aux coordonnées (4, 2).

N'importe où à la droit d'origine aura un valeur x positive . Partout à gauche de l'origine aura un valeur x négative .

Partout verticalement au dessus de l'origine aura un positif et valeur . Partout verticalement en dessous de l'origine aura un négatif et valeur .

actes libres aspirer des tests pratiques

Ainsi, si nous décomposons le plan de coordonnées en quatre quadrants , nous pouvons voir que tout point aura certaines propriétés en termes de positivité ou de négativité, selon l'endroit où il se trouve.

body_Points_example_2-2

Distances et points médians

Lorsqu'on vous donne deux points de coordonnées, vous pouvez trouver à la fois la distance entre eux ainsi que le point médian entre les deux points d'origine. Nous pouvons trouver ces valeurs en utilisant des formules ou en utilisant d'autres techniques de géométrie.

Détaillons les différentes manières de résoudre ces types de problèmes.

corps_distance-1 Puissiez-vous toujours avoir des véhicules rapides (ou au moins des chaussures robustes) pour tous vos déplacements à distance.

Formule de distance

$ √ {(x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2} $

Il existe deux options pour trouver la distance entre deux points : en utilisant la formule ou en utilisant le théorème de Pythagore. Regardons les deux.

Méthode de résolution 1 : Formule de distance

Si vous préférez utiliser des formules sur autant de questions que vous le pouvez, alors allez-y et mémorisez la formule de distance ci-dessus. Vous serez ne pas recevoir toutes les formules de la section mathématique ACT, y compris la formule de distance, donc, si vous choisissez cet itinéraire, assurez-vous de pouvoir mémoriser la formule avec précision et faites-lui appel au besoin. (Rappelez-vous qu'une formule dont vous vous souvenez mal est pire que de ne pas connaître du tout une formule.)

Vous devrez mémoriser chaque formule mathématique ACT dont vous aurez besoin et, pour ceux d'entre vous qui veulent en apprendre le moins possible, la formule à distance pourrait être la goutte d'eau qui a fait déborder le vase. Mais pour ceux d'entre vous qui aiment les formules et qui ont du mal à les mémoriser, l'ajout de la formule à distance à votre répertoire pourrait ne pas être un problème.

Alors, comment utilisons-nous notre formule en action ? Disons que nous avons deux points, (-5, 3) et (1, -5), et nous devons trouver la distance entre les deux.

Si nous insérons simplement nos valeurs dans notre formule de distance, nous obtenons :

$ √ {(x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2} $

$ √ {(1 - (- 5)) ^ 2 + (- 5-3) ^ 2} $

$ √ {(6) ^ 2 + (- 8) ^ 2} $

$ √ {(36 + 64)} $

$ √ 100 $

dix

La distance entre nos deux points est de 10.

Méthode de résolution 2 : Théorème de Pythagore

$a^2+b^2=c^2$

Alternativement, nous pouvons toujours trouver la distance entre deux points en utilisant le théorème de Pythagore. Bien que, encore une fois, vous ne recevrez aucune formule dans la section mathématiques ACT, vous devrez connaître le théorème de Pythagore pour de nombreux types de questions, et c'est une formule que vous avez probablement déjà utilisée dans vos cours de mathématiques à l'école. . Cela signifie que vous aurez tous les deux besoin de le savoir pour le test de toute façon, et vous le savez probablement déjà.

Alors pourquoi pouvons-nous utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la distance entre les points ? Parce que la formule de distance est en fait dérivée de le théorème de Pythagore (et nous allons vous montrer comment dans un instant). Le compromis est que résoudre vos questions de distance de cette manière prend un peu plus de temps, mais cela ne vous oblige pas non plus à dépenser plus d'énergie à mémoriser plus de formules que vous n'en avez absolument besoin et comporte moins de risques de vous souvenir de la formule de distance. tort .

Pour utiliser le théorème de Pythagore pour trouver une distance, il suffit de transformer les points de coordonnées et la distance entre eux en un triangle rectangle, la distance agissant comme une hypoténuse. A partir des coordonnées, nous pouvons trouver les longueurs des jambes du triangle et utiliser le théorème de Pythagore pour trouver notre distance.

Par exemple, utilisons les mêmes coordonnées que précédemment pour trouver la distance entre elles en utilisant cette méthode à la place.

Trouvez la distance entre les points $(−5.3)$ et $(1,−5)$.

Tout d'abord, commencez par cartographier vos coordonnées.

body_points_example_3.1-2

Ensuite, faites les jambes de vos triangles rectangles.

body_points_example_3.2-2

Si nous comptons les points le long de notre plan, nous pouvons voir que nous avons des longueurs de jambe de 6 et 8. Maintenant, nous pouvons brancher ces nombres et utiliser le théorème de Pythagore pour trouver le dernier morceau de notre triangle, la distance entre nos deux points.

body_points_example_3.3-3

$a^2+b^2=c^2$

6 $ ^ 2 + 8 ^ 2 = c ^ 2 $

36 $ + 64 = c ^ 2 $

100 $ = c ^ 2 $

$ c = 10 $

La distance entre nos deux points est, encore une fois, de 10.

[Note spéciale : si vous êtes familier avec vos raccourcis de triangle, vous avez peut-être remarqué que ce triangle était ce que nous appelons un triangle 3-4-5 multiplié par 2. Parce que c'est l'un des triangles rectangles réguliers, vous ne même besoin du théorème de Pythagore pour savoir que l'hypoténuse sera de 10 si les deux jambes sont 6 et 8. C'est un raccourci qui peut être utile à connaître, mais qui n'est pas nécessaire savoir, comme vous pouvez le voir.]

Formule du point médian

$ ({{x_1 + x_2} / 2} $, $ {{y_1 + y_2} / 2}) $

En plus de trouver la distance entre deux points, nous pouvons également trouver le milieu entre deux points de coordonnées. Parce que ce sera un autre point sur l'avion, il aura son propre ensemble de coordonnées.

Si vous regardez la formule, vous pouvez voir que le point médian est la moyenne de chacune des valeurs d'un axe particulier. Ainsi, le point médian sera toujours la moyenne des valeurs x et la moyenne des valeurs y, écrites en tant que point de coordonnées.

Par exemple, prenons les mêmes points que nous avons utilisés pour notre formule de distance, (-5, 3) et (1, -5).

Si nous prenons la moyenne de nos valeurs x, nous obtenons :

$ {- 5 + 1} / 2 $

-4 $ / 2 $

2

Et si nous prenons la moyenne de nos valeurs y, nous obtenons :

$ {3 + (- 5)} / 2 $

-2 $ / 2 $

-1

Le milieu de la ligne sera aux coordonnées (−2,−1).

Si nous regardons notre image de tout à l'heure, nous pouvons voir que ce calcul a du sens.

body_points_example_4.1-2

Il est difficile de trouver le milieu d'une ligne sans utiliser la formule, mais le considérer comme la moyenne de chaque valeur d'axe, plutôt que de le considérer comme une formule formelle, peut faciliter la visualisation et la mémorisation.

body_binoculars-1 Alors, quels types de questions sur les points et les distances se profilent à l'horizon ? Nous allons jeter un coup d'oeil.

Questions ponctuelles typiques

Les questions ponctuelles sur l'ACT entreront généralement dans l'une des deux catégories suivantes : les questions sur le fonctionnement du plan de coordonnées et les questions sur le point médian ou la distance.

Regardons chaque type.

Coordonner les questions d'avion

Les questions sur le plan de coordonnées testent à quel point vous comprenez exactement comment fonctionne le plan de coordonnées, ainsi que comment manipuler les points et les lignes à l'intérieur. Cela peut prendre la forme de tester si vous comprenez ou non que le plan de coordonnées s'étend à l'infini, ou à quel point vous comprenez à quel point les valeurs de coordonnées x et y négatives et positives seront, ou à quel point vous pouvez visualiser les points et comment ils se déplacent dans la coordonnée avion.

Regardons un exemple :

body_ACT_points_6_E

Nous savons d'après notre graphique précédent que si x est positif et y est négatif, alors nous serons dans le quadrant IV, et si x est négatif et y est positif, nous serons dans le quadrant II.

Le quadrant I aura toujours à la fois des valeurs x positives et des valeurs y positives, et le quadrant III aura toujours des valeurs x négatives et des valeurs y négatives. Ceux-ci ne correspondent pas à nos critères, nous pouvons donc les éliminer.

perdu mon diplôme d'études secondaires

Cela signifie que notre réponse finale est E , II ou IV seulement.

Questions sur le milieu et la distance

Les questions sur le point médian et la distance seront assez simples et vous demanderont exactement cela: la distance ou le point médian entre deux points. Vous devrez peut-être trouver des distances ou des points médians à partir d'une question de scénario (une situation hypothétique ou une histoire) ou simplement à partir d'une question mathématique simple (par exemple, quelle est la distance entre les points (3, -5) et (4, 4) ?) .

Regardons un exemple de question de scénario,

Becky, Lia et Marian sont des amies qui vivent toutes dans le même quartier. Becky vit à 8 km au nord de Lia et Marian vit à 20 km à l'est de Lia. À combien de kilomètres Becky et Marian habitent-elles l'une de l'autre ?

  1. 11 milles

  2. 12 milles

  3. 13 milles

  4. 14 milles

  5. 15 milles

Tout d'abord, faisons un rapide croquis de notre scénario.

body_points_distance_1-1

Maintenant, parce qu'il s'agit d'une question de distance, nous avons la possibilité d'utiliser notre formule de distance ou d'utiliser le théorème de Pythagore. Puisque nous avons déjà commencé par dessiner notre schéma, continuons sur cette voie et utilisons simplement le théorème de Pythagore.

Maintenant, nous pouvons voir que nous avons fait un triangle rectangle à partir des jambes de distance que nous avons déjà.

corps_points_distance_2-1

Becky habite à 5 miles au nord et Marian à 12 miles à l'est, ce qui signifie que les jambes de notre triangle seront 5 et 12. Maintenant, nous pouvons trouver l'hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore.

5 $ ^ 2 + 12 ^ 2 = c ^ 2 $

25 $ + 144 = c ^ 2 $

169 $ = c ^ 2 $

$ c = √169 $

$ c = $ 13

[Remarque : si vous vous souvenez de vos raccourcis pour les triangles rectangles, vous auriez pu gagner du temps et savoir simplement que notre distance/hypoténuse était de 13. Pourquoi ? Parce qu'un triangle rectangle avec des jambes de 5 et 12 signifie que nous avons un triangle 5-12-13, ce qui signifie que l'hypoténuse sera toujours 13.]

La distance entre la maison de Becky et celle de Marian est de 13 miles.

Notre réponse finale est C , 13 milles.

À de très rares occasions, on peut également vous demander quelque chose de légèrement plus particulier sur une formule de point médian ou de distance, comme le produit ou la somme des coordonnées. Cela nécessite simplement que vous fassiez une étape supplémentaire une fois que vous avez trouvé vos nouveaux points de coordonnées, alors ne vous laissez pas surprendre par ce scénario.

body_ACT_points_3_C

Nous savons que nos points médians sont les moyennes de nos coordonnées individuelles. Cela signifie que nous pouvons travailler en arrière à partir de notre paire de coordonnées données et de nos coordonnées médianes pour trouver notre deuxième paire de coordonnées d'origine.

Notre premier ensemble de coordonnées d'origine est à (1,−5), elles agiront donc comme notre $x_1$ et notre $y_1$. Et on nous dit que notre point médian est à (4,−3), alors mettons en place le problème.

Tout d'abord, trouvons la valeur de notre $x_2$ (la coordonnée x du point B).

${x_1+x_2}/2=4$

$ {1 + x_2} / 2 = 4 $

1 $ + x_2 = 8 $

$ x_2 = 7 $

Deuxièmement, trouvons la valeur de notre $y_2$ (la coordonnée y du point B).

$ {y_1 + y_2} / 2 = -3 $

$ {- 5-y_2} / 2 = -3 $

$ -5 + y_2 = -6 $

$ y_2 = -1 $

taux d'acceptation de mary hardin baylor

Il ne nous reste plus qu'à ajouter nos deux coordonnées.

7 $ + (- 1) $

6

Notre réponse finale est C , 6.


body_strategy-9 Parlons maintenant stratégie, stratégie, stratégie. (Presque sûr, dire les choses trois fois les rend chanceux. Ou évoque juste Beetlejuice. De toute façon.)

Stratégies mathématiques ACT pour résoudre les questions de point

Bien que les questions ponctuelles puissent prendre diverses formes, il existe quelques stratégies que vous pouvez suivre pour vous aider à les maîtriser.

#1 : Notez toujours les informations que vous avez fournies

Bien qu'il puisse être tentant de travailler sur des questions dans votre tête, il est facile de faire des erreurs avec vos questions de points si vous n'écrivez pas les informations que vous avez données. C'est particulièrement le cas lorsque l'on travaille avec des négatifs ou avec des valeurs absolues.

De plus, la plupart du temps, lorsque l'on vous donne un diagramme avec des points marqués sur le plan de coordonnées, vous ne pas recevoir des coordonnées. C'est parce que les fabricants de tests estiment que ce serait un problème trop simple à résoudre si on vous avait donné des coordonnées. Prenez donc un moment pour noter vos coordonnées et toute autre information donnée afin de la garder bien en tête.

# 2: Dessinez-le

En plus d'écrire les informations que vous avez données, dessinez des images de vos scénarios. Faites vos propres images si vous n'en avez pas, dessinez dessus si vous sommes schémas donnés. Ne sous-estimez jamais la valeur des informations de marquage sur un croquis - même une approximation approximative peut vous aider à garder une trace de plus d'informations que vous ne pouvez (ou ne devriez essayer) dans votre tête.

Le temps et l'énergie sont deux ressources précieuses à votre disposition lorsque vous passez l'ACT et il en faut peu pour faire un croquis approximatif, mais cela peut vous coûter beaucoup plus cher pour garder toutes vos informations dans votre tête.

# 3: Décidez maintenant quelles formules vous souhaitez utiliser

Si vous vous sentez plus à l'aise d'utiliser une variété de formules pour une variété de scénarios, alors allez-y et mémorisez la formule de distance en plus de toutes vos autres formules nécessaires. Mais rappelez-vous simplement que mémoriser une mauvaise formule est pire que de ne pas s'en souvenir du tout, alors assurez-vous de mémoriser et entraine toi toutes vos connaissances sur les formules d'ici le jour du test pour que vous puissiez les verrouiller dans votre tête.

Si, cependant, vous êtes quelqu'un qui préfère consacrer ses efforts d'étude ailleurs (ou vous sentez simplement que vous ne vous souviendrez pas correctement de plus d'une poignée de formules le jour du test), alors allez-y et oubliez toutes vos formules facultatives . Prenez le temps de mémoriser et d'utiliser le théorème de Pythagore à la place (puisque vous aurez besoin de le connaître pour une multitude d'autres types de problèmes de toute façon) et lavez-vous les mains du reste.

Vous devrez connaître au moins quelques formules pour bien réussir sur l'ACT, mais vous pouvez absolument vous en tirer en n'en ayant besoin que d'une poignée, plutôt que d'avoir besoin de toutes les connaître.

corps_silencieux

Test (sur le point d'être) en cours.

Testez vos connaissances

Maintenant, testons vos connaissances ponctuelles sur quelques autres vraies questions mathématiques ACT.

1. Dans le plan de coordonnées standard $(x,y)$, un segment de ligne a ses extrémités à $(3,6)$ et $(9,4)$. Quelles sont les coordonnées du milieu du segment de droite ?

À. $ (3, -1) $
B. $ (3,1) $
C. $ (6,2) $
RÉ. $ (6,5) $
ET. $ (12,10) $

2.

body_ACT_points_8_G

3.

body_ACT_points_7_F

Quatre. Quelle est la distance entre les coordonnées $(4, -2)$ et $(-4, -6)$ ?

À. $ 4√5 $
B. $ 5√3 $
C. 8
RÉ. $ 9√3 $
ET. 14

Réponses: D, G, F, A

Explications de réponse :

1. Ici, nous avons une simple question médiane, nous avons donc juste besoin de trouver les moyennes de nos coordonnées.

On nous donne $(3,6)$ et $(9,4)$, alors trouvons d'abord la coordonnée $x$ du milieu.

$$ {3 + 9} / 2 = 12/2 = 6 $$

Nous savons que notre réponse doit être C ou D, car ce sont les seules options qui nous donnent notre $x$-coordonnée médiane à 6. Trouvons maintenant notre $y$-coordonnée.

$$ {6 + 4} / 2 = 10/2 = 5 $$

Nos coordonnées médianes seront à (6,5).

Notre réponse finale est D, (6.5)

2. Si nous faisons un triangle rectangle entre les points qui nous sont donnés, nous pouvons voir qu'il aura des longueurs de jambe de 8 et 8.

body_point_example_3

Parce que la distance sera proportionnelle aux jambes et que la distance entre E et D est de 1/4$ la distance entre E et F, nous pouvons prendre 1/4$ de la distance de chaque jambe.

body_point_example_4

Donc, si nous comptons 2 à partir de la coordonnée $x$ et 2 à partir de la coordonnée $y$, nous obtenons un nouveau point de coordonnée à (8,6).

Notre réponse finale est G , (8.6).

3. C'est une question qui peut sembler au premier abord être une bête à résoudre, mais le principe qui la sous-tend n'est pas aussi complexe qu'il y paraît. Une fois que nous avons analysé le texte, nous pouvons voir que l'on nous demande essentiellement de trouver la racine carrée de la somme des carrés de nos valeurs de coordonnées ($√{x^2+y^2}$).

quand sortent les sats d'octobre

Le moyen le plus simple pour nous de le faire est de saisir nos propres valeurs estimées pour nos points $z$. Comme on ne nous donne pas de coordonnées exactes, nous savons que nous pourrons résoudre le problème sans coordonnées exactes, ce qui signifie qu'une estimation approximative fera très bien l'affaire.

Donnons donc à chaque point de coordonnée une valeur approximative et disons qu'ils sont :

$ z_1 = (- $ 5,6)

$ z_2 = (- 3.1) $

$ z_3 = (- 3, -3) $

$ z_4 = (3, -2) $

$ z_5 = (5,2) $

Nous devons maintenant trouver la racine carrée de la somme des carrés de nos valeurs de coordonnées ($√{x^2+y^2}$).

Cela signifie que les carrés annuleront toutes les valeurs de coordonnées négatives (car un négatif fois un négatif est un positif). Nous recherchons donc simplement la coordonnée $z$ qui a la plus grande valeur absolue de ses coordonnées, et celles-ci seraient $z_5$ et $z_1$. Il semble que $z_1$ aura la plus grande valeur de module, mais testons-les tous les deux pour être sûr.

$ z_5 $

$ √ {x ^ 2 + y ^ 2} $

$ √ {5 ^ 2 + 2 ^ 2} $

$ √ {25 + 4} $

$ √ {29} $

5.4

Et $z_1$ :

$ √ {x ^ 2 + y ^ 2} $

$ √ {(- 5) ^ 2 + 6 ^ 2} $

$ √ {25 + 36} $

$ √ {61} $

7.8

Le point avec la plus grande valeur de module est $z_1$.

Notre réponse finale est F , $ z_1 $

Quatre. C'est une question de distance typique et nous pouvons, comme toujours, soit utiliser le théorème de Pythagore, soit la formule de distance. Dans ce cas, utilisons simplement la formule de distance.

$ √ {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2} $

Nos coordonnées sont : (4,−2) et (−4,−6), alors intégrons cela dans notre formule.

$ √ {((- 4) −4) ^ 2 + ((- 6) - (- 2)) ^ 2} $

$ √ {(- 8) ^ 2 + (- 4) ^ 2} $

$ √ {64 + 16} $

$ √ {80} $

$ √16 * √5 $

$ 4√5 $

(Pour comprendre comment réduire des racines comme celle-ci, consultez notre guide des entiers avancés .)

Notre réponse finale est A , $ 4√5 $

body_party Oh oui! Vous avez gagné des lasers !

Les plats à emporter

Les éléments de base de la géométrie de coordonnées consistent à comprendre comment fonctionne le plan de coordonnées et comment les points s'y intègrent et peuvent y être manipulés. Une fois que vous aurez compris ces concepts fondamentaux, vous serez en mesure d'effectuer des tâches de géométrie de coordonnées plus complexes, telles que la recherche de pentes et la rotation de formes .

La géométrie des coordonnées n'est pas un sujet mathématique ACT insignifiant, mais heureusement, le succès est surtout une question d'organisation et de diligence. Faites attention à garder une trace de vos négatifs et de toutes vos pièces en mouvement et vous serez en mesure de dominer ces questions ponctuelles et toute la géométrie de coordonnées que l'ACT peut vous lancer.

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