Réflexions, traductions et rotations sur les mathématiques SAT : Guide de la géométrie des coordonnées

feature_reflection

Si vous avez toujours rêvé de déplacer des graphiques et des points sur les axes $x$ et $y$ (et pourquoi pas ?), alors vous avez de la chance ! Les points, les graphiques et les formes peuvent être manipulés dans le plan de coordonnées à votre guise. Vous voulez déplacer ce triangle un peu vers la gauche ? Retournez? Le faire tourner ? Avec les réflexions, les rotations et les translations, beaucoup de choses sont possibles.

Ce sera votre guide complet pour les rotations, les réflexions et les translations de points, de formes et de graphiques sur le SAT — ce que signifient ces termes, les types de questions que vous verrez sur le test, et les astuces et formules dont vous aurez besoin pour résoudre ces questions en un rien de temps.



Avant de continuer

Les problèmes de réflexion, de rotation et de translation sont extrêmement rare sur la SAT. Si vous visez un score parfait (ou presque) et que vous voulez saisir tous les points possibles, alors ce guide est fait pour vous.

Mais si vous avez encore besoin de rafraîchir vos bases, alors votre temps et votre énergie sont mieux dépensés pour étudier les types de problèmes mathématiques les plus courants que vous verrez sur le test .

Rappelles toi, chaque question vaut le même nombre de points , il vaut donc mieux répondre à deux ou trois questions sur des nombres entiers , des triangles ou des pentes que de répondre à une seule question sur les rotations.

Donc, si vous avez tout le reste bien défini (ou si vous aimez vraiment, vraiment la géométrie des coordonnées), alors parlons de réflexions, de rotations et de translations !

Qu'est-ce qu'une réflexion ?

Tout comme la façon dont votre image est reflétée dans un miroir, un graphique ou un objet plat (planaire) peut être reflété dans le plan de coordonnées. Il peut être réfléchi sur l'axe des x, l'axe des y, ou toute autre ligne, invisible ou non. Cette ligne, autour de laquelle se réfléchit l'objet, est appelée « ligne de symétrie ».

body_symm_y_axis

body_symm_x_axis

La plupart des questions de réflexion SAT vous demanderont d'identifier une forme symétrique par rapport à une ligne que vous devez imaginer ou dessiner vous-même. Ces questions devraient être assez simples tant que vous prêtez attention aux détails.

Par exemple,

Le diagramme ci-dessous montre la lettre grecque pi.

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body_reflection_example_original

Chaque côté de la figure se réfléchit à l'identique autour d'une ligne de symétrie verticale. Parmi les lettres ci-dessous, laquelle a à la fois une ligne de symétrie verticale et horizontale ?

À.

body_reflection_example_1

B.

body_reflection_example_2-1

C.

body_reflection_example_3-1

RÉ.

body_reflection_example_4

ET.

body_reflection_example_5

Maintenant, on nous demande une lettre qui a À LA FOIS une ligne de symétrie verticale ET horizontale (même si l'exemple, pi, n'a qu'une ligne de symétrie verticale). Si vous passez trop rapidement à travers le test, vous pourriez être tenté de trouver la lettre avec seulement une ligne de symétrie verticale comme l'image d'exemple. Cependant, cela vous conduirait à sélectionner le mauvais choix de réponse.

Donc, maintenant que nous savons que nous devons trouver une lettre symétrique tous les deux verticalement et horizontalement, examinons nos options.

Vous pouvez soit tracer des lignes de réflexion dans votre esprit ou sur la page, mais nous allons les dessiner ici.

Testons nos options en leur donnant d'abord une ligne de symétrie verticale. S'ils échouent au test vertical, ils seront automatiquement éliminés, sans qu'il soit nécessaire de tester s'ils ont une ligne de symétrie horizontale. (Rappelez-vous, nous recherchons une lettre qui a tous les deux .)

Traçons donc une ligne de symétrie verticale potentielle à travers chacun de nos choix de réponse, en commençant par le choix de réponse A.

corps_rho

Nous pouvons voir que rho n'a pas d'axe de symétrie vertical, car chaque moitié n'est pas un parfait reflet l'une de l'autre. Nous pouvons éliminer le choix de réponse A.

corps_gamma

Chaque moitié de gamma n'est pas non plus symétrique avec l'autre moitié. Nous pouvons éliminer le choix de réponse B.

corps_mu_1

Mu est symétrique sur lui-même verticalement et si vous faisiez rapidement le test, vous pourriez être tenté de vous arrêter ici. Mais nous savons que nous devons aussi trouver une ligne de symétrie horizontale.

corps_mu_2

Mu n'a pas d'axe de symétrie horizontal, nous pouvons donc maintenant éliminer le choix de réponse C.

body_eta_1

Eta a également une ligne de symétrie verticale. Voyons s'il en a aussi un horizontal.

body_eta_2

Succès! Eta est symétrique, que l'axe de symétrie soit vertical ou horizontal. Nous pouvons nous arrêter ici, car nous avons trouvé notre bon choix de réponse.

Notre réponse finale est D.

body_reflection-1 La nature exhibant ses compétences en géométrie de coordonnées. Clairement.

Qu'est-ce qu'une rotation ?

Les objets dans le plan de coordonnées peuvent également être tournés (tournés) dans le sens horaire ou antihoraire. Imaginez que nous puissions ajuster l'objet avec nos mains - il tournera, tout en restant à plat, comme un morceau de papier sur une table.

Pour faire pivoter un objet, nous devons choisir un point qui servira de point central de notre rotation . Cependant, ce point central de notre rotation ne doit PAS être le centre de la forme ; il doit toujours être un centre à notre rotation, mais nous pouvons choisir n'importe quel point pour agir comme ce centre.

Regardons une démonstration visuelle de cela.

Tout d'abord, examinons une forme qui a un centre de rotation au centre de la forme elle-même.

body_rotate_center_1

body_rotate_center_2

body_rotate_center_3

Maintenant, nous pouvons voir comment le mouvement de l'objet change lorsque le centre de rotation se déplace. Ici, nous avons un centre de rotation en tant que point sur le contour de la forme.

body_rotate_side_1

body_rotate_side_2

body_rotate_side_3

Mais bien que n'importe quel point puisse agir comme centre de rotation, il vous sera presque toujours demandé de faire pivoter un objet 'autour de l'origine'. Cela signifie que l'origine (coordonnées $(0,0)$) servira de centre de rotation.

body_rotate_origin_1-1

body_rotate_origin_2-1

body_rotate_origin_3-1

L'angle autour duquel l'objet se déplace est appelé le angle de rotation . Lorsque nous faisons pivoter un objet, l'angle de rotation sera :

  • Positif quand on déplace l'objet dans le sens antihoraire
  • Négatif quand l'objet tourne dans le sens des aiguilles d'une montre .

body_positive_rotation

Un angle de rotation positif.

body_negative_rotation

Un angle de rotation négatif.

Les deux objets se sont retrouvés au même endroit, l'un a été tourné de +180° et l'autre de -180°.

Si on vous demande de faire pivoter un objet sur le SAT, ce sera à un angle de 90 degrés ou 180 degrés (ou, plus rarement, 270 degrés). Ce sont de beaux nombres qui divisent uniformément le plan de coordonnées en 4 parties, et chacune de ces mesures de degrés a une règle de rotation standard.

Regardons ces règles de rotation.

Noter: si vous êtes un peu fragile sur les différents quadrants du plan de coordonnées $xy$ et où $x$ et $y$ sont positifs et négatifs, vous devriez prendre quelques minutes pour lire notre article sur les quatre graphiques quadrants avant de passer à la section suivante de ce guide.

body_rules-4

Rangez vos gourdins et nous prouverons que nous ne sommes pas des fakirs.

Règles et formules de rotation

Vous pouvez déterminer les nouvelles coordonnées de votre point si vous faites pivoter votre objet d'un certain angle par rapport à l'origine. [Noter: ces formules ne fonctionnent que lors de la rotation d'un point ou d'une série de points autour de l'origine - ils ne fonctionneront pas si vous faites pivoter l'objet autour de tout autre centre de rotation.]

Chacune des mesures à trois degrés (90, 180 ou 270) déplacera les coordonnées de votre point d'origine vers une position différente et calculable sur le graphique. Si vous effectuez une rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (un angle de rotation positif), vous pouvez utiliser ces règles pour trouver vos nouveaux points de coordonnées.

Par exemple, commençons par un ensemble de coordonnées à $(4, 6)$ et faisons pivoter le point.

body_rotation_original

Ici, nous avons nos coordonnées d'origine de $(4, 6)$

Pour les rotations à 90 degrés :

$(a, b)$ => $(-b, a)$

body_rotation_90

Si nos coordonnées originales de (4, 6) sont tournées de 90°, les nouvelles coordonnées seront (-6, 4).

Pour les rotations à 180 degrés :

$(a, b)$ => $(-a, -b)$

body_rotation_180

Si nos coordonnées originales de $(4, 6)$ sont tournées de 180°, les nouvelles coordonnées seront $(-4, -6)$.

Pour des rotations de 270 degrés :

$(a, b)$ => $(b, -a)$

body_rotation_270

Si nos coordonnées d'origine de $(4, 6)$ sont tournées de 270°, les nouvelles coordonnées seront $(6, -4)$.

(Et, bien sûr, un 360 degrés la rotation vous ramènera au début à $(a, b)$ encore une fois !)

body_rotation_original

Si nos coordonnées originales de $(4, 6)$ sont tournées à 360°, les nouvelles coordonnées seront les mêmes, $(4, 6)$.

rotation_corps

♪ Tu me fais tourner en rond, bébé, en rond ♪

Qu'est-ce qu'une traduction ?

Si nous continuons à considérer la forme comme un morceau de papier à plat sur une table (sur le plan de coordonnées), une translation est l'acte de la faire glisser le long du plan de coordonnées dans une direction particulière.

La forme peut être déplacée vers le haut ou vers le bas (ou les deux !) à n'importe quelle distance le long du plan. Il conserve sa forme et son orientation, mais est simplement situé ailleurs dans l'avion.

comment trouver vos scores d'acte

body_pentagon_translation

La façon de noter qu'une traduction doit se produire est de dire :

$T_{a,b}(x,y)$

Cela signifie que vos coordonnées finales pour ce point seront :

$ (x + a, y + b) $

Par exemple,

Quel est le nouveau point pour $T_{-3, 4}(2, -6)$ ?

A. $ (- 5, 10) $
B. $ (- 1, 2) $
C. $ (1, -2) $
D. $(-5, -10)$
E. $ (- 1, -2) $

Nous savons que nous devons additionner nos points traduits aux valeurs $x$ et $y$ correspondantes de nos coordonnées d'origine. Alors:

$T_{-3, 4}(2, -6)$

$ (2 + -3, -6 +4) $

$ (- 1, -2) $

Nos nouvelles coordonnées pour ce point sont à $(-1, -2)$.

Vous pouvez voir pourquoi cela est vrai si nous le regardons sur un graphique.

Nous partons des coordonnées $(2, -6)$.

body_coordinate_ex_1

Maintenant, nous parcourons -3 espaces le long de l'axe $x$ et +4 espaces le long de l'axe $y$. En traçant cela, nous pouvons trouver nos nouvelles coordonnées.

body_coordinate_ex_2

Notre réponse finale est E , $ (-1, -2) $.

Problèmes typiques de réflexion, de rotation et de traduction

Encore une fois, ces types de questions sont extrêmement rares sur le SAT, et il est probable que vous ne voyiez aucun problème de réflexion, de rotation ou de traduction sur votre test.

Cela dit, il existe trois types différents de problèmes de réflexion/rotation/traduction qui apparaîtront, lorsqu'ils apparaîtront. Ces questions seront soit des questions de réflexion, de rotation ou de traduction sur :

#1 : Points
#2 : Formes dans le plan de coordonnées
#3 : Graphiques de fonction


Regardons les trois.

Points

Les points sont les objets les plus simples à faire pivoter, réfléchir ou translater, car il n'y a qu'un seul composant : le point unique. Tout point sur le plan de coordonnées aura une coordonnée $x$ et une coordonnée $y$, mais vous aurez toujours beaucoup moins de pièces mobiles lorsque vous traiterez une rotation de point qu'avec tout autre type de rotation, de réflexion ou de translation.

Formes

Les formes sont légèrement plus compliquées à refléter ou à faire pivoter que les points pour la simple raison que les formes sont composées de plusieurs points (et des lignes reliant ces points). Cela signifie que toute rotation/réflexion/translation de forme nécessitera plus de considération et de soin, afin de s'assurer que toutes vos pièces sont correctement alignées.

Il est souvent beaucoup plus facile, lorsque l'on travaille avec des formes modifiées, de tracer uniquement les positions des points. Ne vous inquiétez pas pour les lignes : marquez la position correcte des nouvelles coordonnées pour les points et les lignes s'arrangeront d'elles-mêmes.

Par exemple, disons que nous devons faire pivoter un trapèze de +90 degrés. La question particulière peut vous demander de trouver la pente de l'une des nouvelles lignes de la forme pivotée, d'identifier un nouveau point de coordonnées ou toute autre chose. Mais d'abord, nous devons faire pivoter notre figure.

body_trapezoid_shape_q_1-1

La façon la plus simple de le faire est de simplement mapper les nouveaux points de coordonnées selon nos règles de rotation. Nous savons qu'une rotation de 90 degrés transformera toutes nos coordonnées de $(a, b)$ en $(-b, a)$, alors trouvons-les.

Chaque point de coordonnée donné se transformera comme suit :

$ (1, 1) $ => $ (- 1, 1) $

$ (3, 4) $ => $ (- 4, 3) $

$ (7, 4) $ => $ (- 4, 7) $

$ (9, 1) $ => $ (- 1, 9) $

body_trapezoid_shape_q_2-1

Maintenant, nous pouvons simplement connecter les lignes et trouver notre nouveau trapèze, ce qui nous permet de répondre à toutes les questions dont nous avons besoin à ce sujet.

body_trapezoid_shape_q_3-1

Graphiques de fonction

Enfin, les graphiques de fonctions peuvent être réfléchis ou traduits comme des formes et des points, mais PAS pivotés. (Pourquoi les fonctions ne peuvent-elles pas être pivotées ? Si une fonction était pivotée, elle échouerait au test de la ligne verticale et ne serait plus une fonction.)

body_reflected_function

Une fonction réfléchie.

body_translated_function

Une fonction traduite.

body_rotated_function

Les fonctions ne peux pas être tourné ! Cela échoue au test de la ligne verticale et n'est donc plus une fonction.

Traductions de fonctions

Nous pouvons traduire notre fonction verticalement (haut et bas) ou horizontalement (gauche et droite), ou une combinaison des deux. Pour ce faire, nous modifions nos entrées et nos sorties (pour en savoir plus sur le fonctionnement des fonctions, y compris les entrées et les sorties, consultez notre guide des fonctions SAT .)

Nous pouvons traduire notre fonction vers le haut ou vers le bas en ajoutant ou en soustrayant de notre sortie.

  • Ajout à la sortie traduit le graphique en haut .
  • Soustraire de la sortie déplace le graphique vers le bas .

body_output

D'autre part:

  • Ajout à l'entrée déplacera le graphique la gauche
  • Soustraire de l'entrée déplacera le graphique vers le droite

body_input

Réflexions sur les fonctions

Nous pouvons également refléter notre fonction sur une ligne de symétrie le long de l'axe $x$ ou $y$.

Faire le sortie négative fait refléter la fonction à travers le $i x$ -axe (l'inverse autour de l'axe $x$).

body_function_x_flip

Faire le entrée négative fait refléter la fonction à travers le $i y$ -axe.

body_function_y_flip

corps_accablé

S'il s'agit de beaucoup de nouvelles informations pour vous, ne stressez pas. Ces types de questions sont, encore une fois, si rares qu'il y a de fortes chances que vous ne les voyiez pas sur votre test. N'essayez de mémoriser ces règles que si vous vous sentez à l'aise de le faire.

Stratégies pour les problèmes de réflexion et de traduction

Bien qu'il n'y ait pas deux problèmes de réflexion/traduction/rotation identiques, il y a quelques trucs et astuces à suivre pour tout type que vous pourriez rencontrer.

#1 : Dessinez vos propres graphiques

Surtout lorsqu'il s'agit d'un problème qui nécessite une réflexion ou une traduction, c'est toujours une bonne idée de prendre un moment pour esquisser un graphique des anciennes et nouvelles positions de l'objet dans l'espace.

Cela vous permet de travailler avec le problème sur la page plutôt que dans votre tête, ce qui est particulièrement utile si l'on vous demande de trouver des informations autres que la simple identification d'un nouveau point de coordonnées (un exploit en soi !). Par exemple, on peut vous demander de trouver la pente d'une ligne réfléchie, ou le produit de deux $x$-coordonnées traduites, ou toute autre chose à laquelle le SAT pourrait penser.

Sans faire vos propres dessins et diagrammes, il peut être facile de devenir confus, de tomber dans le piège des réponses et de perdre des points précieux.

#2 : Percez vos formules de rotation

Lorsque vous travaillez avec des translations ou des réflexions, il est assez simple de dessiner votre propre image et d'aligner vos points correspondants, mais lorsqu'il s'agit de rotations, il peut être beaucoup plus difficile de visualiser le mouvement du point ou de l'objet. Même lorsque vous avez cartographié le point d'origine, les rotations sont souvent beaucoup plus délicates qu'il n'y paraît.

À moins que vous n'ayez une découpe de papier de votre point, de votre forme ou de votre fonction et que vous souhaitiez passer votre temps à faire tourner votre papier brouillon en rond, il est préférable de simplement mémoriser vos règles de rotation pour 90, 180 et 270 degrés.

# 3: Double-vérifier, double-vérifier, (triple-vérifier)

Les rotations, les réflexions et les traductions peuvent sembler simples (et, en effet, les principes sous-jacents ne sont pas trop complexes), mais la difficulté à résoudre ce genre de problèmes réside dans la facilité de mapper un ou deux points de coordonnées.

Rien n'est plus frustrant que lorsque vous savez comment résoudre un problème, mais que vous allez trop vite ou trop négligemment et que vous vous trompez de question. Assurez-vous donc de bien vérifier que vous avez correctement décalé vos coordonnées avant de buller dans cette réponse finale.

Testez vos connaissances

1.

body_SAT_reflecttranslate

2. Le graphique $y = f(x)$ est présenté ci-dessous.

body_function_ex_1

Quel pourrait être le graphique de $y = f(x + 3)$ ?

À.

body_function_ex_2-1

B.

body_function_ex_3

C.

body_function_ex_4

RÉ.

body_function_ex_5

ET.

body_function_ex_6

Réponses: C'EST À

Explications de réponse :

1. Si nous traçons une ligne verticale imaginaire à travers chaque lettre dans les options de réponse, nous pouvons voir que toutes sauf une sont symétriques par rapport à cette ligne verticale.

corps_a

corps_i

corps_o

corps_u

body_e

combien de pintes égalent un gallon

Seule la lettre E a une forme différente de chaque côté de la ligne verticale.

Notre réponse finale est E.

2. Nous savons que l'ajout à l'entrée ou à la sortie déplacera notre graphique et le traduira ailleurs. Dans ce cas, nous ajoutons à l'entrée, qui, vous vous en souviendrez, traduit notre graphique vers la gauche. Nous n'apportons aucun changement supplémentaire, sa position verticale restera donc inchangée.

Le seul choix de réponse qui nous montre un graphique qui maintient la position verticale et est décalé vers la gauche est le choix de réponse A.

Voici la position de départ de la fonction.

body_function_ex_1

Et ici, il est décalé vers la gauche dans le choix de réponse A.

body_function_ex_2-1

Notre réponse finale est A.

corps_heureux

Yay! Tu l'as fait!

Les plats à emporter

Bien qu'assez rare à voir, la question de rotation ou de réflexion surprise peut jeter une clé dans les travaux si vous n'y êtes pas préparé. Mais rien de ce que la SAT peut mettre sur le test n'est insurmontable (et, en effet, le test est conçu pour vous donner des opportunités de réussir).

Une fois que vous avez bien compris et que vous savez non seulement la différence entre tous vos termes, mais aussi comment résoudre correctement tout type de question de géométrie de coordonnées que la SAT peut vous poser, vous serez sur la bonne voie pour gagner ce parfait But.

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