Forme de sommet : qu'est-ce que c'est ? Comment le calculez-vous ?

feature_vertexformparabolae

Une fois que vous avez la formule quadratique et les bases des équations quadratiques à froid, il est temps de passer au niveau suivant de votre relation avec les paraboles : en apprendre davantage sur leur forme de sommet .

Lisez la suite pour en savoir plus sur la forme du sommet de la parabole et sur la façon de convertir une équation quadratique de la forme standard en forme de sommet.



crédit d'image caractéristique : SBA73 /Flickr

Pourquoi Vertex Form est-il utile ? Un aperçu

Le forme de sommet d'une équation est une autre façon d'écrire l'équation d'une parabole.

Normalement, vous verrez une équation quadratique écrite sous la forme $ax^2+bx+c$, qui, une fois représentée graphiquement, sera une parabole. À partir de cette forme, il est assez facile de trouver les racines de l'équation (où la parabole frappe l'axe $x$) en définissant l'équation égale à zéro (ou en utilisant la formule quadratique).

Si vous avez besoin de trouver le sommet d'une parabole, cependant, la forme quadratique standard est beaucoup moins utile. Au lieu de cela, vous voudrez convertir votre équation quadratique en forme de sommet.

Qu'est-ce que la forme vertex ?

Alors que la forme quadratique standard est $ax^2+bx+c=y$, la forme sommet d'une équation quadratique est $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$.

Dans les deux formes, $y$ est la $y$-coordonnée, $x$ est la $x$-coordonnée et $a$ est la constante qui vous indique si la parabole est orientée vers le haut ($+a$) ou vers le bas ($-a$). (J'y pense comme si la parabole était un bol de compote de pommes ; s'il y a un $+a$, je peux ajouter de la compote de pommes dans le bol ; s'il y a un $-a$, je peux sortir la compote de pommes du bol.)

La différence entre la forme standard d'une parabole et la forme du sommet est que la forme du sommet de l'équation vous donne également le sommet de la parabole : $(h,k)$.

Par exemple, regardez cette fine parabole, $y=3(x+4/3)^2-2$ :

body_afineparabola

Sur la base du graphique, le sommet de la parabole ressemble à quelque chose comme (-1,5,-2), mais il est difficile de dire exactement où se trouve le sommet à partir du graphique seul. Heureusement, d'après l'équation $y=3(x+4/3)^2-2$, nous savons que le sommet de cette parabole est $(-4/3,-2)$.

Pourquoi le sommet $(-4/3,-2)$ et non $(4/3,-2)$ (autre que le graphique, ce qui rend clair à la fois les $x$- et $y$-coordonnées de le sommet est négatif) ?

Rappelles toi: dans l'équation sous forme de sommet, $h$ est soustrait et $k$ est ajouté . Si vous avez un $h$ négatif ou un $k$ négatif, vous devrez vous assurer de soustraire le $h$ négatif et d'ajouter le $k$ négatif.

Dans ce cas, cela signifie :

$ y = 3 (x + 4/3) ^ 2-2 = 3 (x - (- 4/3)) ^ 2 + (- 2) $

et donc le sommet est $(-4/3,-2)$.

Vous devriez toujours vérifier vos signes positifs et négatifs lorsque vous écrivez une parabole sous forme de sommet , en particulier si le sommet n'a pas de valeurs positives $x$ et $y$ (ou pour vous quadrant-heads là-bas, si ce n'est pas dans le quadrant I ). Ceci est similaire à la vérification que vous feriez si vous résolviez la formule quadratique ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) et que vous deviez vous assurer que vous mainteniez vos valeurs positives et négatifs directement pour vos $a$s, $b$s et $c$s.

Vous trouverez ci-dessous un tableau avec d'autres exemples de quelques autres équations de forme de sommet de parabole, ainsi que leurs sommets. Notez en particulier la différence dans la partie $(x-h)^2$ de l'équation de forme du sommet de la parabole lorsque la coordonnée $x$ du sommet est négative.

Forme de sommet de parabole

Coordonnées du sommet

$ y = 5 (x-4) ^ 2 + 17 $

$ (4,17) $

$ y = 2/3 (x-8) ^ 2-1 / 3 $

$ (8, -1 / 3) $

$ y = 144 (x + 1/2) ^ 2-2 $

$ (- 1/2, -2) $

$ y = 1,8 (x + 2,4) ^ 2 + 2,4 $

$ (- 2.4,2.4) $

Comment convertir de la forme quadratique standard en forme de sommet

La plupart du temps, lorsqu'on vous demandera de convertir des équations quadratiques entre différentes formes, vous passerez de la forme standard ($ax^2+bx+c$) à la forme sommet ($a(xh)^2+k$ ).

Le processus de conversion de votre équation de la forme quadratique standard en forme de sommet implique de suivre une série d'étapes appelées compléter le carré. (Pour en savoir plus sur la réalisation du carré, assurez-vous de lire cet article.)

Passons en revue un exemple de conversion d'une équation de la forme standard en forme de sommet. Commençons par l'équation $y=7x^2+42x-3/14$.

La première chose à faire est de déplacer la constante, ou le terme sans $x$ ou $x^2$ à côté. Dans ce cas, notre constante est $-3/14$. (Nous savons que c'est négatif /14$ parce que l'équation quadratique standard est $ax^2+bx+c$, pas $ax^2+bx-c$.)

Tout d'abord, nous allons prendre ce $-3/14$ et le déplacer vers le côté gauche de l'équation :

$ y + 3/14 = 7x ^ 2 + 42x $

L'étape suivante consiste à factoriser le 7 (la valeur $a$ dans l'équation) du côté droit, comme ceci :

$ y + 3/14 = 7 (x ^ 2 + 6x) $

Génial! Cette équation ressemble beaucoup plus à une forme de sommet, $y=a(x-h)^2+k$.

À ce stade, vous pensez peut-être : « Tout ce que j'ai à faire maintenant, c'est de remettre les 3/14 $ du côté droit de l'équation, n'est-ce pas ? » Hélas, pas si vite.

Si vous regardez une partie de l'équation entre parenthèses, vous remarquerez un problème : ce n'est pas sous la forme $(x-h)^2$. Il y a trop de $x$s ! Nous n'avons donc pas encore tout à fait terminé.

Ce que nous devons faire maintenant, c'est la partie la plus difficile : terminer le carré.

Regardons de plus près la partie $x^2+6x$ de l'équation. Afin de factoriser $(x^2+6x)$ en quelque chose qui ressemble à $(xh)^2$, nous allons devoir ajouter une constante à l'intérieur des parenthèses—et nous allons devoir nous souvenir d'ajouter également cette constante de l'autre côté de l'équation (puisque l'équation doit rester équilibrée).

Pour configurer cela (et assurez-vous de ne pas oublier d'ajouter la constante de l'autre côté de l'équation), nous allons créer un espace vide où la constante ira de chaque côté de l'équation :

$ y + 3/14 + 7 ($ $) = 7 (x ^ 2 + 6x + $ $) $

Notez que sur le côté gauche de l'équation, nous nous sommes assurés d'inclure notre valeur $a$, 7, devant l'espace où ira notre constante ; c'est parce que nous n'ajoutons pas simplement la constante du côté droit de l'équation, mais nous multiplions la constante par tout ce qui se trouve à l'extérieur des parenthèses. (Si votre valeur $a$ est 1, vous n'avez pas à vous en soucier.)

L'étape suivante consiste à compléter le carré. Dans ce cas, le carré que vous complétez est l'équation à l'intérieur des parenthèses. En ajoutant une constante, vous la transformez en une équation qui peut être écrite sous la forme d'un carré.

Pour calculer cette nouvelle constante, prenez la valeur à côté de $x$ (6, dans ce cas), divisez-la par 2 et placez-la au carré.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. La constante est 9.

La raison pour laquelle nous réduisons de moitié le 6 et le carré, c'est que nous savons que dans une équation sous la forme $(x+p)(x+p)$ (ce que nous essayons d'atteindre), $px+px= 6x$, donc $p=6/2$ ; pour obtenir la constante $p^2$, nous devons donc prendre /2$ (notre $p$) et la mettre au carré.

Maintenant, remplacez l'espace vide de chaque côté de notre équation par la constante 9 :

$ y + 3/14 + 7 (9) = 7 (x ^ 2 + 6x + 9) $

$ y + 63 {3/14} = 7 (x ^ 2 + 6x + 9) $

Ensuite, factorisez l'équation entre parenthèses. Parce que nous avons complété le carré, vous pourrez le factoriser comme $(x+{some umber})^2$.

$ y + 63 {3/14} = 7 (x + 3) ^ 2 $

Dernière étape : déplacez la valeur non $y$ du côté gauche de l'équation vers le côté droit :

$ y = 7 (x + 3) ^ 2-63 {3/14} $

est 17 un bon score d'acte

Toutes nos félicitations! Vous avez réussi à convertir votre équation de la forme quadratique standard en forme de sommet.

Maintenant, la plupart des problèmes ne vous demanderont pas seulement de convertir vos équations de la forme standard en forme de sommet ; ils voudront que vous donniez réellement les coordonnées du sommet de la parabole.

Pour éviter d'être trompé par les changements de signe, écrivons l'équation de forme de sommet générale directement au-dessus de l'équation de forme de sommet que nous venons de calculer :

$ y = a (x-h) ^ 2 + k $

$ y = 7 (x + 3) ^ 2-63 {3/14} $

Et puis on peut facilement trouver $h$ et $k$ :

$-h=3$

$h=-3$

$ + k = -63 {3/14} $

Le sommet de cette parabole est aux coordonnées $(-3,-63{3/14})$.

Ouf, c'était beaucoup de nombres mélangés ! Heureusement, la conversion d'équations dans l'autre sens (du sommet à la forme standard) est beaucoup plus simple.

body_shufflearoundnumbers

Comment convertir de la forme vertex en forme standard

La conversion d'équations de leur forme de sommet à la forme quadratique régulière est un processus beaucoup plus simple : tout ce que vous avez à faire est de multiplier la forme de sommet.

Prenons notre exemple d'équation plus haut, $y=3(x+4/3)^2-2$. Pour transformer cela en une forme standard, nous développons simplement le côté droit de l'équation :

$$ y = 3 (x + 4/3) ^ 2-2 $$

$$ y = 3 (x + 4/3) (x + 4/3) -2 $$

$$ y = 3 (x ^ 2 + {8/3} x + 16/9) -2 $$

$$ y = 3x ^ 2 + 8x + {16/3} -2 $$

$$ y = 3x ^ 2 + 8x + {16/3} - {6/3} $$

$$ y = 3x ^ 2 + 8x + 10/3 $$

Tada ! Vous avez converti avec succès $y=3(x+4/3)^2-2$ en sa forme $ax^2+bx+c$.

body_vertexformquestions

Exercice sur la forme du sommet de la parabole : exemples de questions

Pour conclure cette exploration de la forme des sommets, nous avons quatre exemples de problèmes et explications. Voyez si vous pouvez résoudre les problèmes vous-même avant de lire les explications !

#1: Quelle est la forme du sommet de l'équation quadratique $x^2+ 2.6x+1,2$ ?

#2 : Convertissez l'équation y=91x^2-112$ en forme de sommet. Quel est le sommet ?

#3 : Étant donné l'équation $y=2(x-3/2)^2-9$, quelles sont les $x$-coordonnées de l'intersection de cette équation avec l'axe $x$ ?

#4 : Trouvez le sommet de la parabole $y=({1/9}x-6)(x+4)$.

body_vertexformsolutions

Pratique de la forme Parabola Vertex : Solutions

#1 : Quelle est la forme du sommet de l'équation quadratique ${i x^2}+ 2.6i x+1,2$ ?

Commencez par séparer la variable non $x$ de l'autre côté de l'équation :

$ y-1,2 = x ^ 2 + 2,6x $

Puisque notre $a$ (comme dans $ax^2+bx+c$) dans l'équation d'origine est égal à 1, nous n'avons pas besoin de le factoriser du côté droit ici (bien que si vous le souhaitez, vous pouvez écrire $y-1,2=1(x^2+2,6x)$).

Ensuite, divisez le coefficient $x$ (2,6) par 2 et carréz-le, puis ajoutez le nombre résultant des deux côtés de l'équation :

$ (2,6 / 2) ^ 2 = (1,3) ^ 2 = 1,69 $

$ y-1,2 + 1 (1,69) = 1 (x ^ 2 + 2,6x + 1,69) $

Factoriser le côté droit de l'équation entre parenthèses :

$ y-1,2 + 1,69 = (x + 1,3) ^ 2 $

Enfin, combinez les constantes du côté gauche de l'équation, puis déplacez-les vers le côté droit.

$ y-1,2 + 1,69 = (x + 1,3) ^ 2 $

$ y + 0,49 = (x + 1,3) ^ 2 $

Notre réponse est $y=(x+1,3)^2-0,49$.

#2 : Convertissez l'équation i y=91i x^2-112$ en forme de sommet. Quel est le sommet ?

Lors de la conversion d'une équation en forme de sommet, vous voulez que $y$ aient un coefficient de 1, donc la première chose que nous allons faire est de diviser les deux côtés de cette équation par 7 :

$ 7y = 91x^2-112 $

$ {7y}/7 = {91x^2}/7-112/7 $

$ y = 13x ^ 2-16 $

30 60 90 calculatrice triangulaire

Ensuite, amenez la constante sur le côté gauche de l'équation :

$ y + 16 = 13x ^ 2 $

Factorisez le coefficient du nombre $x^2$ (le $a$) du côté droit de l'équation

$ y + 16 = 13 (x ^ 2) $

Maintenant, normalement, vous devez compléter le carré du côté droit de l'équation à l'intérieur des parenthèses. Cependant, $x^2$ est déjà un carré, vous n'avez donc rien d'autre à faire que de déplacer la constante du côté gauche de l'équation vers le côté droit :

$ y = 13 (x ^ 2) -16 $.

Maintenant pour trouver le sommet :

$ y = a (x-h) ^ 2 + k $

$ y = 13 (x ^ 2) -16 $

$-h=0$, donc $h=0$

$+k=-16$, donc $k=-16$

Le sommet de la parabole est à $(0, -16)$.

#3 : Étant donné l'équation $i y=2(i x-3/2)^2-9$, quelle(s) est(sont) la/les $i x$-coordonnée(s) de l'intersection de cette équation avec le $i x$-axe ?

Étant donné que la question vous demande de trouver le(s) $x$ à l'origine de l'équation, la première étape consiste à définir $y=0$.

$ y = 0 = 2 (x-3/2) ^ 2-9 $.

Maintenant, il y a plusieurs façons de partir d'ici. La manière sournoise est d'utiliser le fait qu'il y a déjà un carré écrit dans l'équation de forme de sommet à notre avantage.

Tout d'abord, nous allons déplacer la constante vers le côté gauche de l'équation :

0 $ = 2 (x-3/2) ^ 2-9 $

9 $ = 2 (x-3/2) ^ 2 $

Ensuite, nous allons diviser les deux côtés de l'équation par 2:

9/2 $ = (x-3/2) ^ 2 $

Maintenant, la partie sournoise. Prenons la racine carrée des deux membres de l'équation :

$ √ (9/2) = {(x-3/2) ^ 2} $

$ ± 3 / {√2} = (x-3/2) $

$ ± {{3√2} / 2} = x- {3/2} $

${3√2}/2=x-{3/2}$ et ${-3√2}/2=x-{3/2}$

$x=3/2+{3√2}/2$ et $x=3/2-{3√2}/2$

Alternativement, vous pouvez trouver les racines de l'équation en convertissant d'abord l'équation de la forme du sommet en la forme d'équation quadratique standard, puis en utilisant la formule quadratique pour la résoudre.

Tout d'abord, multipliez le côté droit de l'équation :

0 $ = 2 (x- {3/2}) ^ 2-9 $

Forme de sommet : qu'est-ce que c'est ? Comment le calculez-vous ?

feature_vertexformparabolae

Une fois que vous avez la formule quadratique et les bases des équations quadratiques à froid, il est temps de passer au niveau suivant de votre relation avec les paraboles : en apprendre davantage sur leur forme de sommet .

Lisez la suite pour en savoir plus sur la forme du sommet de la parabole et sur la façon de convertir une équation quadratique de la forme standard en forme de sommet.



crédit d'image caractéristique : SBA73 /Flickr

Pourquoi Vertex Form est-il utile ? Un aperçu

Le forme de sommet d'une équation est une autre façon d'écrire l'équation d'une parabole.

Normalement, vous verrez une équation quadratique écrite sous la forme $ax^2+bx+c$, qui, une fois représentée graphiquement, sera une parabole. À partir de cette forme, il est assez facile de trouver les racines de l'équation (où la parabole frappe l'axe $x$) en définissant l'équation égale à zéro (ou en utilisant la formule quadratique).

Si vous avez besoin de trouver le sommet d'une parabole, cependant, la forme quadratique standard est beaucoup moins utile. Au lieu de cela, vous voudrez convertir votre équation quadratique en forme de sommet.

Qu'est-ce que la forme vertex ?

Alors que la forme quadratique standard est $ax^2+bx+c=y$, la forme sommet d'une équation quadratique est $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$.

Dans les deux formes, $y$ est la $y$-coordonnée, $x$ est la $x$-coordonnée et $a$ est la constante qui vous indique si la parabole est orientée vers le haut ($+a$) ou vers le bas ($-a$). (J'y pense comme si la parabole était un bol de compote de pommes ; s'il y a un $+a$, je peux ajouter de la compote de pommes dans le bol ; s'il y a un $-a$, je peux sortir la compote de pommes du bol.)

La différence entre la forme standard d'une parabole et la forme du sommet est que la forme du sommet de l'équation vous donne également le sommet de la parabole : $(h,k)$.

Par exemple, regardez cette fine parabole, $y=3(x+4/3)^2-2$ :

body_afineparabola

Sur la base du graphique, le sommet de la parabole ressemble à quelque chose comme (-1,5,-2), mais il est difficile de dire exactement où se trouve le sommet à partir du graphique seul. Heureusement, d'après l'équation $y=3(x+4/3)^2-2$, nous savons que le sommet de cette parabole est $(-4/3,-2)$.

Pourquoi le sommet $(-4/3,-2)$ et non $(4/3,-2)$ (autre que le graphique, ce qui rend clair à la fois les $x$- et $y$-coordonnées de le sommet est négatif) ?

Rappelles toi: dans l'équation sous forme de sommet, $h$ est soustrait et $k$ est ajouté . Si vous avez un $h$ négatif ou un $k$ négatif, vous devrez vous assurer de soustraire le $h$ négatif et d'ajouter le $k$ négatif.

Dans ce cas, cela signifie :

$ y = 3 (x + 4/3) ^ 2-2 = 3 (x - (- 4/3)) ^ 2 + (- 2) $

et donc le sommet est $(-4/3,-2)$.

Vous devriez toujours vérifier vos signes positifs et négatifs lorsque vous écrivez une parabole sous forme de sommet , en particulier si le sommet n'a pas de valeurs positives $x$ et $y$ (ou pour vous quadrant-heads là-bas, si ce n'est pas dans le quadrant I ). Ceci est similaire à la vérification que vous feriez si vous résolviez la formule quadratique ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) et que vous deviez vous assurer que vous mainteniez vos valeurs positives et négatifs directement pour vos $a$s, $b$s et $c$s.

Vous trouverez ci-dessous un tableau avec d'autres exemples de quelques autres équations de forme de sommet de parabole, ainsi que leurs sommets. Notez en particulier la différence dans la partie $(x-h)^2$ de l'équation de forme du sommet de la parabole lorsque la coordonnée $x$ du sommet est négative.

Forme de sommet de parabole

Coordonnées du sommet

$ y = 5 (x-4) ^ 2 + 17 $

$ (4,17) $

$ y = 2/3 (x-8) ^ 2-1 / 3 $

$ (8, -1 / 3) $

$ y = 144 (x + 1/2) ^ 2-2 $

$ (- 1/2, -2) $

$ y = 1,8 (x + 2,4) ^ 2 + 2,4 $

$ (- 2.4,2.4) $

Comment convertir de la forme quadratique standard en forme de sommet

La plupart du temps, lorsqu'on vous demandera de convertir des équations quadratiques entre différentes formes, vous passerez de la forme standard ($ax^2+bx+c$) à la forme sommet ($a(xh)^2+k$ ).

Le processus de conversion de votre équation de la forme quadratique standard en forme de sommet implique de suivre une série d'étapes appelées compléter le carré. (Pour en savoir plus sur la réalisation du carré, assurez-vous de lire cet article.)

Passons en revue un exemple de conversion d'une équation de la forme standard en forme de sommet. Commençons par l'équation $y=7x^2+42x-3/14$.

La première chose à faire est de déplacer la constante, ou le terme sans $x$ ou $x^2$ à côté. Dans ce cas, notre constante est $-3/14$. (Nous savons que c'est négatif $3/14$ parce que l'équation quadratique standard est $ax^2+bx+c$, pas $ax^2+bx-c$.)

Tout d'abord, nous allons prendre ce $-3/14$ et le déplacer vers le côté gauche de l'équation :

$ y + 3/14 = 7x ^ 2 + 42x $

L'étape suivante consiste à factoriser le 7 (la valeur $a$ dans l'équation) du côté droit, comme ceci :

$ y + 3/14 = 7 (x ^ 2 + 6x) $

Génial! Cette équation ressemble beaucoup plus à une forme de sommet, $y=a(x-h)^2+k$.

À ce stade, vous pensez peut-être : « Tout ce que j'ai à faire maintenant, c'est de remettre les 3/14 $ du côté droit de l'équation, n'est-ce pas ? » Hélas, pas si vite.

Si vous regardez une partie de l'équation entre parenthèses, vous remarquerez un problème : ce n'est pas sous la forme $(x-h)^2$. Il y a trop de $x$s ! Nous n'avons donc pas encore tout à fait terminé.

Ce que nous devons faire maintenant, c'est la partie la plus difficile : terminer le carré.

Regardons de plus près la partie $x^2+6x$ de l'équation. Afin de factoriser $(x^2+6x)$ en quelque chose qui ressemble à $(xh)^2$, nous allons devoir ajouter une constante à l'intérieur des parenthèses—et nous allons devoir nous souvenir d'ajouter également cette constante de l'autre côté de l'équation (puisque l'équation doit rester équilibrée).

Pour configurer cela (et assurez-vous de ne pas oublier d'ajouter la constante de l'autre côté de l'équation), nous allons créer un espace vide où la constante ira de chaque côté de l'équation :

$ y + 3/14 + 7 ($ $) = 7 (x ^ 2 + 6x + $ $) $

Notez que sur le côté gauche de l'équation, nous nous sommes assurés d'inclure notre valeur $a$, 7, devant l'espace où ira notre constante ; c'est parce que nous n'ajoutons pas simplement la constante du côté droit de l'équation, mais nous multiplions la constante par tout ce qui se trouve à l'extérieur des parenthèses. (Si votre valeur $a$ est 1, vous n'avez pas à vous en soucier.)

L'étape suivante consiste à compléter le carré. Dans ce cas, le carré que vous complétez est l'équation à l'intérieur des parenthèses. En ajoutant une constante, vous la transformez en une équation qui peut être écrite sous la forme d'un carré.

Pour calculer cette nouvelle constante, prenez la valeur à côté de $x$ (6, dans ce cas), divisez-la par 2 et placez-la au carré.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. La constante est 9.

La raison pour laquelle nous réduisons de moitié le 6 et le carré, c'est que nous savons que dans une équation sous la forme $(x+p)(x+p)$ (ce que nous essayons d'atteindre), $px+px= 6x$, donc $p=6/2$ ; pour obtenir la constante $p^2$, nous devons donc prendre $6/2$ (notre $p$) et la mettre au carré.

Maintenant, remplacez l'espace vide de chaque côté de notre équation par la constante 9 :

$ y + 3/14 + 7 (9) = 7 (x ^ 2 + 6x + 9) $

$ y + 63 {3/14} = 7 (x ^ 2 + 6x + 9) $

Ensuite, factorisez l'équation entre parenthèses. Parce que nous avons complété le carré, vous pourrez le factoriser comme $(x+{some umber})^2$.

$ y + 63 {3/14} = 7 (x + 3) ^ 2 $

Dernière étape : déplacez la valeur non $y$ du côté gauche de l'équation vers le côté droit :

$ y = 7 (x + 3) ^ 2-63 {3/14} $

Toutes nos félicitations! Vous avez réussi à convertir votre équation de la forme quadratique standard en forme de sommet.

Maintenant, la plupart des problèmes ne vous demanderont pas seulement de convertir vos équations de la forme standard en forme de sommet ; ils voudront que vous donniez réellement les coordonnées du sommet de la parabole.

Pour éviter d'être trompé par les changements de signe, écrivons l'équation de forme de sommet générale directement au-dessus de l'équation de forme de sommet que nous venons de calculer :

$ y = a (x-h) ^ 2 + k $

$ y = 7 (x + 3) ^ 2-63 {3/14} $

Et puis on peut facilement trouver $h$ et $k$ :

$-h=3$

$h=-3$

$ + k = -63 {3/14} $

Le sommet de cette parabole est aux coordonnées $(-3,-63{3/14})$.

Ouf, c'était beaucoup de nombres mélangés ! Heureusement, la conversion d'équations dans l'autre sens (du sommet à la forme standard) est beaucoup plus simple.

body_shufflearoundnumbers

Comment convertir de la forme vertex en forme standard

La conversion d'équations de leur forme de sommet à la forme quadratique régulière est un processus beaucoup plus simple : tout ce que vous avez à faire est de multiplier la forme de sommet.

Prenons notre exemple d'équation plus haut, $y=3(x+4/3)^2-2$. Pour transformer cela en une forme standard, nous développons simplement le côté droit de l'équation :

$$ y = 3 (x + 4/3) ^ 2-2 $$

$$ y = 3 (x + 4/3) (x + 4/3) -2 $$

$$ y = 3 (x ^ 2 + {8/3} x + 16/9) -2 $$

$$ y = 3x ^ 2 + 8x + {16/3} -2 $$

$$ y = 3x ^ 2 + 8x + {16/3} - {6/3} $$

$$ y = 3x ^ 2 + 8x + 10/3 $$

Tada ! Vous avez converti avec succès $y=3(x+4/3)^2-2$ en sa forme $ax^2+bx+c$.

body_vertexformquestions

Exercice sur la forme du sommet de la parabole : exemples de questions

Pour conclure cette exploration de la forme des sommets, nous avons quatre exemples de problèmes et explications. Voyez si vous pouvez résoudre les problèmes vous-même avant de lire les explications !

#1: Quelle est la forme du sommet de l'équation quadratique $x^2+ 2.6x+1,2$ ?

#2 : Convertissez l'équation $7y=91x^2-112$ en forme de sommet. Quel est le sommet ?

#3 : Étant donné l'équation $y=2(x-3/2)^2-9$, quelles sont les $x$-coordonnées de l'intersection de cette équation avec l'axe $x$ ?

#4 : Trouvez le sommet de la parabole $y=({1/9}x-6)(x+4)$.

body_vertexformsolutions

Pratique de la forme Parabola Vertex : Solutions

#1 : Quelle est la forme du sommet de l'équation quadratique ${i x^2}+ 2.6i x+1,2$ ?

Commencez par séparer la variable non $x$ de l'autre côté de l'équation :

$ y-1,2 = x ^ 2 + 2,6x $

Puisque notre $a$ (comme dans $ax^2+bx+c$) dans l'équation d'origine est égal à 1, nous n'avons pas besoin de le factoriser du côté droit ici (bien que si vous le souhaitez, vous pouvez écrire $y-1,2=1(x^2+2,6x)$).

Ensuite, divisez le coefficient $x$ (2,6) par 2 et carréz-le, puis ajoutez le nombre résultant des deux côtés de l'équation :

$ (2,6 / 2) ^ 2 = (1,3) ^ 2 = 1,69 $

$ y-1,2 + 1 (1,69) = 1 (x ^ 2 + 2,6x + 1,69) $

Factoriser le côté droit de l'équation entre parenthèses :

$ y-1,2 + 1,69 = (x + 1,3) ^ 2 $

Enfin, combinez les constantes du côté gauche de l'équation, puis déplacez-les vers le côté droit.

$ y-1,2 + 1,69 = (x + 1,3) ^ 2 $

$ y + 0,49 = (x + 1,3) ^ 2 $

Notre réponse est $y=(x+1,3)^2-0,49$.

#2 : Convertissez l'équation $7i y=91i x^2-112$ en forme de sommet. Quel est le sommet ?

Lors de la conversion d'une équation en forme de sommet, vous voulez que $y$ aient un coefficient de 1, donc la première chose que nous allons faire est de diviser les deux côtés de cette équation par 7 :

$ 7y = 91x^2-112 $

$ {7y}/7 = {91x^2}/7-112/7 $

$ y = 13x ^ 2-16 $

Ensuite, amenez la constante sur le côté gauche de l'équation :

$ y + 16 = 13x ^ 2 $

Factorisez le coefficient du nombre $x^2$ (le $a$) du côté droit de l'équation

$ y + 16 = 13 (x ^ 2) $

Maintenant, normalement, vous devez compléter le carré du côté droit de l'équation à l'intérieur des parenthèses. Cependant, $x^2$ est déjà un carré, vous n'avez donc rien d'autre à faire que de déplacer la constante du côté gauche de l'équation vers le côté droit :

$ y = 13 (x ^ 2) -16 $.

Maintenant pour trouver le sommet :

$ y = a (x-h) ^ 2 + k $

$ y = 13 (x ^ 2) -16 $

$-h=0$, donc $h=0$

$+k=-16$, donc $k=-16$

Le sommet de la parabole est à $(0, -16)$.

#3 : Étant donné l'équation $i y=2(i x-3/2)^2-9$, quelle(s) est(sont) la/les $i x$-coordonnée(s) de l'intersection de cette équation avec le $i x$-axe ?

Étant donné que la question vous demande de trouver le(s) $x$ à l'origine de l'équation, la première étape consiste à définir $y=0$.

$ y = 0 = 2 (x-3/2) ^ 2-9 $.

Maintenant, il y a plusieurs façons de partir d'ici. La manière sournoise est d'utiliser le fait qu'il y a déjà un carré écrit dans l'équation de forme de sommet à notre avantage.

Tout d'abord, nous allons déplacer la constante vers le côté gauche de l'équation :

0 $ = 2 (x-3/2) ^ 2-9 $

9 $ = 2 (x-3/2) ^ 2 $

Ensuite, nous allons diviser les deux côtés de l'équation par 2:

9/2 $ = (x-3/2) ^ 2 $

Maintenant, la partie sournoise. Prenons la racine carrée des deux membres de l'équation :

$ √ (9/2) = {(x-3/2) ^ 2} $

$ ± 3 / {√2} = (x-3/2) $

$ ± {{3√2} / 2} = x- {3/2} $

${3√2}/2=x-{3/2}$ et ${-3√2}/2=x-{3/2}$

$x=3/2+{3√2}/2$ et $x=3/2-{3√2}/2$

Alternativement, vous pouvez trouver les racines de l'équation en convertissant d'abord l'équation de la forme du sommet en la forme d'équation quadratique standard, puis en utilisant la formule quadratique pour la résoudre.

Tout d'abord, multipliez le côté droit de l'équation :

0 $ = 2 (x- {3/2}) ^ 2-9 $

$0=2(x^2-{6/2}x+{9/4})-9$

0 $ = 2x ^ 2-6x + {9/2} -9 $

Ensuite, combinez des termes similaires :

0 $ = 2x ^ 2-6x-9/2 $

À ce stade, vous pouvez choisir d'essayer de calculer vous-même la factorisation par essais et erreurs ou de brancher l'équation dans la formule quadratique. Si je vois un coefficient à côté de $x^2$, j'utilise généralement par défaut la formule quadratique, plutôt que d'essayer de tout garder dans ma tête, alors allons-y ici.

En rappelant que $2x^2-6x-9/2$ est sous la forme $ax^2+bx+c$ :

$x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$

$ x = {- (- 6) ± √ {(- 6) ^ 2-4 (2) (- 9/2)}} / {2 (2)} $

$ x = {6 ± {36-4 (-9)}} / 4 $

$ x = {6 ± {36 + 36}} / 4 $

$ x = {6 ± {72}} / 4 $

$x={6+6√2}/4$ et $x={-6-6√2}/4$

$x=3/2+{3√2}/2$ et $x=3/2-{3√2}/2$

#4 : Trouver le sommet de la parabole $i y=({1/9}i x-6)(i x+4)$.

La première étape consiste à multiplier $y=({1/9}x-6)(x+4)$ pour que la constante soit séparée des termes $x$ et $x^2$.

y = {1/9} {x ^ 2} + (- 6+ {4/9}) x-24

Ensuite, déplacez la constante sur le côté gauche de l'équation.

$ y + 24 = {1/9} {x ^ 2} - {50/9} x $

Factorisez la valeur $a$ du côté droit de l'équation :

$ y + 24 = {1/9} (x ^ 2-50x) $

Créez un espace de chaque côté de l'équation où vous ajouterez la constante pour compléter le carré :

$ y + 24 + 1/9 ($) = {1/9} (x ^ 2-50x + $) $

Calculez la constante en divisant le coefficient du terme $x$ par deux, puis en le quadrant :

$ (- 50/2) ^ 2 = (- 25) ^ 2 = 625 $

Insérez la constante calculée dans l'équation des deux côtés pour compléter le carré :

$ y + 24 + {1/9} (625) = {1/9} (x ^ 2-50x + 625) $

Combinez les termes similaires du côté gauche de l'équation et factorisez le côté droit de l'équation entre parenthèses :

$ y + {216/9} + {625/9} = {1/9} (x-25) ^ 2

$ y + {841/9} = {1/9} (x-25) ^ 2 $

Ramenez la constante du côté gauche de l'équation vers le côté droit :

y = {1/9} (x-25) ^ 2- {841/9}

L'équation est sous forme de sommet, woohoo! Maintenant, pour trouver le sommet de la parabole :

$ y = a (x-h) ^ 2 + k $

y = {1/9} (x-25) ^ 2- {841/9}

$-h=-25$ donc $h=25$

$+k=-{841/9}≈-93.4$ (arrondi)

Le sommet de la parabole est à (25 $, -93,4) $.

body_parabolaquadraticform

=2(x^2-{6/2}x+{9/4})-9$

0 $ = 2x ^ 2-6x + {9/2} -9 $

Ensuite, combinez des termes similaires :

0 $ = 2x ^ 2-6x-9/2 $

À ce stade, vous pouvez choisir d'essayer de calculer vous-même la factorisation par essais et erreurs ou de brancher l'équation dans la formule quadratique. Si je vois un coefficient à côté de $x^2$, j'utilise généralement par défaut la formule quadratique, plutôt que d'essayer de tout garder dans ma tête, alors allons-y ici.

En rappelant que x^2-6x-9/2$ est sous la forme $ax^2+bx+c$ :

$x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$

$ x = {- (- 6) ± √ {(- 6) ^ 2-4 (2) (- 9/2)}} / {2 (2)} $

$ x = {6 ± {36-4 (-9)}} / 4 $

$ x = {6 ± {36 + 36}} / 4 $

$ x = {6 ± {72}} / 4 $

$x={6+6√2}/4$ et $x={-6-6√2}/4$

$x=3/2+{3√2}/2$ et $x=3/2-{3√2}/2$

#4 : Trouver le sommet de la parabole $i y=({1/9}i x-6)(i x+4)$.

La première étape consiste à multiplier $y=({1/9}x-6)(x+4)$ pour que la constante soit séparée des termes $x$ et $x^2$.

y = {1/9} {x ^ 2} + (- 6+ {4/9}) x-24

Ensuite, déplacez la constante sur le côté gauche de l'équation.

$ y + 24 = {1/9} {x ^ 2} - {50/9} x $

Factorisez la valeur $a$ du côté droit de l'équation :

$ y + 24 = {1/9} (x ^ 2-50x) $

Créez un espace de chaque côté de l'équation où vous ajouterez la constante pour compléter le carré :

$ y + 24 + 1/9 ($) = {1/9} (x ^ 2-50x + $) $

Calculez la constante en divisant le coefficient du terme $x$ par deux, puis en le quadrant :

$ (- 50/2) ^ 2 = (- 25) ^ 2 = 625 $

Insérez la constante calculée dans l'équation des deux côtés pour compléter le carré :

$ y + 24 + {1/9} (625) = {1/9} (x ^ 2-50x + 625) $

Combinez les termes similaires du côté gauche de l'équation et factorisez le côté droit de l'équation entre parenthèses :

$ y + {216/9} + {625/9} = {1/9} (x-25) ^ 2

$ y + {841/9} = {1/9} (x-25) ^ 2 $

Ramenez la constante du côté gauche de l'équation vers le côté droit :

y = {1/9} (x-25) ^ 2- {841/9}

L'équation est sous forme de sommet, woohoo! Maintenant, pour trouver le sommet de la parabole :

$ y = a (x-h) ^ 2 + k $

y = {1/9} (x-25) ^ 2- {841/9}

$-h=-25$ donc $h=25$

$+k=-{841/9}≈-93.4$ (arrondi)

Le sommet de la parabole est à (25 $, -93,4) $.

body_parabolaquadraticform

Des Articles Intéressants

Conditions d'admission à la Southeastern Oklahoma State University

Scores SAT et GPA de l'Université de Santa Clara

Qu'est-ce qu'un boursier AP? Avantages et exigences

Vous voulez devenir un boursier AP ? Nous expliquons ce qu'est le prix, quelles sont les exigences et pourquoi vous ne devriez pas stresser à ce sujet.

Triangles et polygones sur les mathématiques SAT : stratégies et questions pratiques pour la géométrie

Les triangles, les rectangles et les polygones sont une partie importante de la géométrie SAT Math. Apprenez des stratégies d'experts pour traiter des questions triangulaires et entraînez-vous sur des problèmes réalistes de mathématiques SAT.

Qu'est-ce qu'un bon score SAT ? Un mauvais score SAT ? Un excellent score SAT ?

Découvrez ce qu'est un bon score SAT dans l'ensemble et ce que ces chiffres signifient pour vous. Nous vous donnons également un guide étape par étape pour déterminer le score SAT dont VOUS avez besoin.

Conditions d'admission au Saint Mary's College of California

Diplôme AICE : qu'est-ce que c'est ? Devriez-vous en obtenir un ?

Vous envisagez un diplôme AICE ? Découvrez ce que vous devez faire pour mériter cet honneur impressionnant, ainsi que les avantages et les inconvénients du programme AICE.

Conditions d'admission à la Colorado School of Mines

Meilleur résumé et analyse : The Great Gatsby, chapitre 1

Lisez ce résumé complet du chapitre 1 de The Great Gatsby pour savoir exactement ce qui se passe, ce que signifient les événements et comment ils sont liés au reste du roman.

Scores ACT et GPA du Hillsdale College

Eugene Lang College La nouvelle école d'arts libéraux Conditions d'admission

Point Loma Nazarene University Scores SAT et GPA

Les 9 meilleurs collèges jésuites

Qu'est-ce qu'une université jésuite ? Consultez notre liste de collèges jésuites et découvrez quels membres de l'Association des collèges et universités jésuites sont les meilleurs.

Conditions d'admission à l'Université Lamar

3 excellentes options pour le soutien en ligne de l'enseignement à domicile

Vous cherchez de l'aide en ligne pour l'école à la maison? Nous expliquons les avantages et les inconvénients des différentes ressources d'enseignement à domicile en ligne et comment trouver la meilleure solution pour votre famille.

Score SAT de 1460 : est-ce bon ?

Ancien vers nouveau SAT : Comment convertir 2400 en 1600 ?

Lorsque l'échelle SAT passe de 2400 à 1600, comment convertissez-vous vos scores à la nouvelle échelle ? Apprenez la formule ici.

Conditions d'admission à l'IUPUI

Université d'Hawaï à Manoa ACT Scores et GPA

Comment obtenir la meilleure recommandation de pairs de Dartmouth

Besoin d'une recommandation de pairs pour l'application de Dartmouth ? Une lettre forte pourrait ne pas être ce que vous pensez qu'elle est. Voici ce que vous devez faire pour obtenir la meilleure lettre de pairs possible, étape par étape.

Scores ACT et GPA de l'Université de Pittsburgh

Conditions d'admission internationale à l'Université Trident

Conditions d'admission au Southern Vermont College

Conditions d'admission à l'Université du Massachusetts Lowell

Texas A&M - Scores SAT et GPA de Galveston